米游社 · 大别野
线性代数初步
更新于2024-09-01
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线代总是要学的……
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2023-11-15 大别野
如何普遍解方程？（其一）
用消元法解二元线性方程组 [图片]为了消去𝑥₂，以𝑎₂₂、𝑎₁₂分别乘两方程的两端，再将两个方程相减，得 [图片]消去𝑥₁同理.那么 [图片]那么这样一来，就能将𝑎₁₁、𝑎₁₂、𝑎₂₁、𝑎₂₂排列起来
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2023-11-16 大别野
如何普遍解方程？（其二）
昨天我们讲了用二阶行列式解二元线性方程组，很没用，是不是？未知数再多一点就有用了，要不然太麻烦. 记 [图片]叫作三阶行列式.譬如解关于𝑥的方程 [图片]S：设 [图片]我们有𝐷＝3𝑥²＋4𝑥＋18
2023-11-17 大别野
如何普遍解方程？（其三）
用1、2、3能组成6个没有重复数字的三位数： 123、231、321、132、312、213. 对于𝑛个不同元素，也能提出类似问题：将𝑛个不同元素排在一起有几种排法？规定将𝑛个不同元素拍成一列叫作全排
2023-11-19 大别野
如何普遍解方程？（其四）
回顾一下三阶行列式的基本定义： [图片]容易看出上式右边每一项都是三个元素之积，每个元素位于不同的行、列.因此右端任何一项在忽略正负号的前提下能够记作 [图片]这里第一个下标（行标）是次序123，列标
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2023-11-21 大别野
从解方程开始进行推广
排列中，将任意两个元素对调，其他元素不动叫作对换.把相邻的两个元素对换叫作相邻对换.一个排列中任意两个元素对换，排列的奇偶性发生改变. Pr：从特殊情况考虑，从相邻对换的情形入手.设排列𝑎₁…𝑎ₗ𝑎𝑏
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2023-11-24 大别野
行列式的性质（其一）
记 [图片]行列式𝐷ᵀ成为行列式𝐷的转置行列式.有𝐷＝𝐷ᵀ. Pr：记𝐷＝det(𝑎ᵢⱼ)的转置行列式 [图片]𝐷ᵀ的元为𝑏ᵢⱼ，则𝑏ᵢⱼ＝𝑎ⱼᵢ（𝑖，𝑗＝1，2，…，𝑛），那么 [图片]故𝐷ᵀ＝𝐷.
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2023-11-27 大别野
行列式的性质（其二）
行列式中的某一行（列）所有元素中同乘𝑘，等于用这个数乘这个行列式⇒行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 行列式中有两行（列）元素成比例，行列式等于0. 还有 [图片]和 [
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2023-11-27 大别野
（插）逆序数的计算
有人私信我说那个逆序数的个数咋求，来看一下： 譬如求排列32514的逆序数，3在首位逆序数为0，2在前面有一个比它大的数3，逆序数为1，5最大，逆序数为0，1在前面有3个数比它大，逆序数为3，4前面只
2023-11-28 大别野
解行列式（其一）
例：计算 [图片]我们要想方设法，将蓝色的部分均为0，那么也就只需要计算转化后的行列式的几何中心（姑且让我这么说说吧）为原点的直线𝑦＝－𝑥的对角行列式上.我们先把𝑐₁的𝑟₂𝑟₃𝑟₄都化成0，也就是 [
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2023-11-28 大别野
解行列式（其二）
例：计算2𝑛阶行列式 [图片]S：将行列式中第2𝑛行依次与第(2𝑛－1)行、…、第2行对调，列也是如此，得 [图片]有𝐷₂ₙ＝𝐷₂𝐷₂₍ₙ₋₁₎＝(𝑎𝑑－𝑏𝑐)𝐷₂₍ₙ₋₁₎作为递推公式⇒𝐷₂ₙ＝(𝑎
2023-11-29 大别野
行列式按行（列）展开
傻瓜也知道，低阶行列式计算起来比高阶简单⁽¹⁾. 在𝑛阶行列式中，把(𝑖,𝑗)元所在的行、列去掉，留下的(𝑛－1)阶行列式叫作(𝑖,𝑗)元𝑎ᵢⱼ的余子式，记作𝑀ᵢⱼ. 记𝐴ᵢⱼ＝(－1)ⁱ⁺ʲ𝑀ᵢⱼ
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2023-11-29 大别野
代数余子式的重要性质（真的很重要）
今天文章没写完哈.防止你们有些人会fatigué⁽¹⁾（我到时候可以教你们怎么念）说“啊我爱看轻小说，不爱看这些乱七八拉糟的”，但我敢保证这些东西可能没有轻小说有意思，但绝对比那些有用.正所谓“甲之蜜
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2023-11-30 大别野
克拉默法则（其一）
既然你们想听，那就给你们听：就今天班里有几个“卧龙凤雏”在自习课上互拍.当时我正在求一个40个千位数的平均数（在没有计算器的前提下），算了10个和后突然闪了一下！在咱们大东北啊，就现在这个时候有的地方
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2023-12-01 大别野
克拉默法则（其二）
被语文老师“嘲讽”了一顿.一首诗，顶级文言体，每个字都认识，看不懂，太晦涩了，老师说这一点也不晦涩，看不懂是自己的问题.Je pensais que si une jeune fille de l'u
2023-12-02 大别野
矩阵的概念（其一）
由𝑚×𝑛个数𝑎ᵢⱼ（𝑖＝1，2，…，𝑚；𝑗＝1，2，…，𝑛）排成𝑚×𝑛数表 [图片]称为𝑚×𝑛矩阵，记作 [图片]以数𝑎ᵢⱼ为(𝑖,𝑗)元矩阵记作(𝑎ᵢⱼ)或(𝑎ᵢⱼ)ₘₓₙ，矩阵矩阵𝑨也记作𝑨ₘₓₙ
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2023-12-09 大别野
矩阵的概念（其二）
It seems that I have no way of communicating with my classmates.X-( 𝑛个变量𝑥ᵢ（𝑖＝1，2，…，𝑛）和𝑚个变量𝑦ⱼ（𝑗＝1，2，…
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2023-12-11 大别野
矩阵的运算（其一）
由于政治原因，从今天开始到本月23日⁽¹⁾我会使用黑白图片，望周知！ [图片]这两个𝑚×𝑛矩阵𝑨＝(𝑎ᵢⱼ)、𝑩＝(𝑏ᵢⱼ)，那么矩阵𝑨与𝑩的和记作𝑨＋𝑩，规定𝑨＋𝑩＝(𝑎ᵢⱼ＋𝑏ᵢⱼ)，－𝑨＝(－𝑎
2023-12-13 大别野
矩阵的运算（其二）
设二线性变换 [图片]将(**)代入(*)，得 [图片]线性变换(***)能看作先(**)后(*)的结果.将(***)叫作(*)和(**)的乘积，将(***)对应的矩阵定义为(*)和(**)对应矩阵乘
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2023-12-14 大别野
矩阵的运算（其三）
鉴于点赞密度过小，笔者今天问了几位同学具体原因，她们分分劝我转型，这里强调一下，我绝对不会转型的.她们对我说啊，让我发一些blog、自拍或记录一点生活，或发个余弦play⁽¹⁾或者写小说画漫画（精美的
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2023-12-15 大别野
矩阵的运算（其四）
今天的这场大雪可谓史无前例！我也有时间在这里跟你们讲. 有了矩阵的乘法，可以定义矩阵的幂.设𝑨是𝑛阶方阵，定义𝑨¹＝𝑨，𝑨²＝𝑨¹𝑨¹，…，𝑨ᵏ⁺¹＝𝑨ᵏ𝑨¹（𝑘∈ℕ₊），也就是说，𝑨ᵏ就是𝑘个𝑨连乘
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2023-12-16 大别野
矩阵的运算（其五）
把矩阵𝑨的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫作𝑨的逆矩阵，记作𝑨ᵀ.如 [图片]满足(𝑨ᵀ)ᵀ＝𝑨，(𝑨＋𝑩)ᵀ＝𝑨ᵀ𝑩ᵀ，(𝜆𝑨)ᵀ＝𝜆𝑨ᵀ，(𝑨𝑩)ᵀ＝𝑩ᵀ𝑨ᵀ. 这里只证最后一条. Pr：设𝑨＝
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2023-12-16 大别野
矩阵的运算（其六）
由𝑛阶方阵𝑨的元素构成的行列式（各元素一一对应），叫作方阵𝑨的行列式，记作|𝑨|或det 𝑨.得出： |𝑨ᵀ|＝|𝑨|；|𝜆𝑨|＝𝜆ⁿ|𝑨|（𝑨是𝑛阶方阵）；|𝑨𝑩|＝|𝑨||𝑩|.这里对最后一个结论
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2023-12-20 大别野
矩阵的运算（其八）
设 [图片]用𝑛替换所有𝑚，其系数矩阵是一个𝑛阶矩阵𝑨，若记 [图片]则替换后的线性变换可记作𝒀＝𝑨𝑿.用 [图片]左乘上式两端，得 [图片]当|𝑨|≠0，有 [图片]若 [图片]则有𝑿＝𝑩𝒀，表示从
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2023-12-21 大别野
矩阵的运算（其九）
若|𝑨|≠0，则𝑨可逆且 [图片]Pr：由 [图片]|𝑨|≠0，有 [图片]𝑨可逆∎. 当|𝑨|≠0时称为非奇异矩阵≡可逆矩阵，反之为奇异矩阵.若𝑨𝑩＝𝑬∨𝑩𝑨＝𝑬，则𝑩＝𝑨⁻¹. 有(𝑨⁻¹)⁻¹＝
2023-12-26 大别野
矩阵的运算（其十）
譬如求 [图片]的逆阵𝑨⁻¹.东 S：|𝑨|＝2≠0，𝑨⁻¹存在，|𝑨|余子式可求，得方 [图片]设𝜑(𝑥)＝𝑎₀＋𝑎₁𝑥＋…＋𝑎ₘ𝑥ᵐ为𝑥的𝑚阶多项式，𝑨为𝑛阶矩阵，记𝜑(𝑨)＝𝑎₀𝑬＋𝑎₁𝑨＋…＋
2023-12-29 大别野
矩阵的简算
像一个3×4矩阵，我们可以有很多种形式⁽¹⁾把它“切开”.比如 [图片]然后把它劈开. [图片]①②③④四个部分可以看成4个矩阵，称为原矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫作分块矩阵.上述分法可记
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2023-12-30 大别野
矩阵的初等变换（其一）
下面的三种变换统称为矩阵的初等变换： 对调两行（列）； 以一个不为0的数乘某一行（列）中所有元素； 把某一行（列）所有元素的𝑘倍加到另一行（列）对应的元素上去. 显然三种变换都是可逆的以初等行变换为例
2023-12-30 大别野
矩阵的初等变换（其二）
有 𝑨~𝑨 𝑨~𝑩⇔𝑩~𝑨 𝑨~𝑩，𝑩~𝑪⇒𝑨~𝑪 如解线性方程组 [图片]将系数列成矩阵： [图片] [图片]紧接着， [图片]对应方程组 [图片]令𝑥₃＝𝑡， [图片]不过，对于𝑩₅还可以继续藿藿
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2023-12-31 大别野
初等矩阵（其一）
由单位阵𝑬经过一次初等变换的矩阵叫作初等矩阵.三种初等变换对应三种不同的初等矩阵. 一、对调两行（列） 把单位阵中第𝑖，𝑗两行对调，得初等矩阵 [图片]用𝑚阶初等矩阵𝑬ₘ(𝑖,𝑗)左乘矩阵𝑨＝(𝑎ᵢⱼ
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2024-01-01 大别野
初等矩阵（其二）
设𝑨是一个𝑚×𝑛矩阵，对其实行一次初等行（列）变换，相当于在𝑨左（右）边乘相应的𝑚（𝑛）阶初等矩阵.初等变换的逆变换对应初等矩阵的逆矩阵. 方阵𝑨可逆⇔∃初等矩阵𝑷₁，𝑷₂，…，𝑷ₗ，𝑨＝𝑷₁𝑷₂…𝑷
+10
2024-01-03 大别野
矩阵的秩（zhì）（其一）
在𝑚×𝑛矩阵𝑨中，任取𝑘行、𝑘列（∀𝑚，𝑛≥𝑘），位于这些行列交叉处的𝑘²个元素不改变它们在矩阵中所处的位置次序得到的𝑘阶行列式，称为矩阵𝑨的𝑘阶子式，其数量为 [图片]设在矩阵𝑨中有一个非零的𝑛阶子
2024-01-04 大别野
矩阵的秩（其二）
若𝑨~𝑩，则𝑅(𝑨)＝𝑅(𝑩). 根据这一定理，欲求矩阵的秩，只需将矩阵用初等行变换变为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.矩阵𝑨的行阶梯形矩阵通常用𝑨上面加一个颚化符表示（如下图）
2024-01-05 大别野
线性方程组的解
𝑛个未知数，𝑚个方程的线性方程组 [图片]上式可写作以向量𝒙为未知元的向量方程𝑨𝒙＝𝒃.若上述线性方程组有解则称其相容（它是相容的），若无解则它不相容.对于𝑛元线性方程组𝑨𝒙＝𝒃： ①𝒙∈∅⇔𝑅(𝑨)
2024-01-06 大别野
向量组及其线性组合（其一）
在解析几何中，我们把既有大小又有方向的量叫作向量.在引进坐标系之后，这些向量就有了坐标表示——3个有序实数，因此对𝑛维向量，当𝑛≤3时可以表示为几何形象，但是𝑛＞3时，几何空间的部分就是物理的事情了！
2024-01-08 大别野
向量组及其线性组合（其二）
Et maintenant... Oh! Mon dieu!⁽¹⁾ 设有两个向量组𝐴：𝒂₁，𝒂₂，…，𝒂ₘ、𝐵：𝒃₁，𝒃₂，…，𝒃ₗ，若𝐵中任意向量都能由𝐴线性表示，则称𝐵能由𝐴线性表示，若二者可以相
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2024-01-14 大别野
向量组及其线性组合（其三）
设向量组𝐵：𝒃₁，𝒃₂，…，𝒃ₗ能由向量组𝐴：𝒂₁，𝒂₂，…，𝒂ₘ线性表示，则𝑅(𝒃₁,𝒃₂,…,𝒃ₗ)≤𝑅(𝒂₁,𝒂₂,…,𝒂ₘ).按这个条件，∃𝑲，𝑨，𝑩，有𝑩＝𝑨𝑲，从而根据定理“设𝑨＝𝑩𝑪，则
2024-01-15 大别野
（插）何为“线性”？
通俗地说，线性是指两个变量之间的关系可以用一条直线函数关系来表示；非线性是指两个变量之间的关系无法用一条直线表示，在图表（图象）呈现为曲线、折线或其他形状.
2024-01-16 大别野
向量组的线性相关性（其一）
现在，开始藿藿向量.把它和矩阵类比到一块，藿藿到一起，归结起来就是：给定向量组𝐴：𝒂₁，𝒂₂，…，𝒂ₘ，若∃不全为0的数𝑘₁，𝑘₂，…，𝑘ₘ，使得𝑘₁𝒂₁＋𝑘₂𝒂₂＋…＋𝑘ₘ𝒂ₘ＝𝟢，则称向量组𝐴是线
2024-01-17 大别野
向量组的线性相关性（其二）
e.g.：已知向量组𝒂₁，𝒂₂，𝒂₃线性无关，𝒃₁＝𝒂₁＋𝒂₂，𝒃₂＝𝒂₂𝒂₃，𝒃₃＝𝒂₃𝒂₁，证明：向量组𝒃₁，𝒃₂，𝒃₃线性无关. Pr Ⅰ：设∃𝑥₁，𝑥₂，𝑥₃，𝑥₁𝒃₁＋𝑥₂𝒃₂＋𝑥₃𝒃₃＝𝟢
2024-01-23 大别野
向量组的秩（其一）
推广： 设有向量组𝐴，若𝐴中可选出𝑟个向量𝒂₁，𝒂₂，…，𝒂ᵣ，满足： ①向量组𝐴₀：𝒂₁，𝒂₂，…，𝒂ᵣ线性无关； ②𝐴中任意(𝑟＋1)个向量（如果有的话）都线性相关： 那么称𝐴₀是𝐴的一个最大线性
2024-01-26 大别野
向量组的秩（其二）
e.g.Ⅰ：设齐次线性方程组 [图片]的全体解向量构成的向量组为𝑆，求𝑅ₛ. S：把系数矩阵𝑨化为最简形： [图片]令自由未知数𝑥₃＝𝜉₁，𝑥₄＝𝜉₂，得通解 [图片]把上式记作𝒙＝𝜉₁𝝃₁＋𝜉₂𝝃₂
+8
2024-01-27 大别野
线性方程组解的结构（其一）
我们用向量组线性相关性理论讨论线性方程组的解.我也感觉我从10月份开始一直在说葫芦话，但我希望大家忍受一点.微积分栏目绝不会有这种情况的. 先讨论齐次线性方程组. 设有齐次线性方程组 [图片]记 [图
+9
2024-02-03 大别野
线性方程组解的结构（其二）
来来来，抓抓紧，紧紧抓～ 在上节的讨论中我们先求出齐次线性方程组的通解，再由通解求得基础解系，其实也可以反过来： 得到上节的方程组 [图片]在这之后令自由未知数𝑥ᵣ₊₁，𝑥ᵣ₊₂，…，𝑥ₙ取下列(𝑛－
+15
2024-02-04 大别野
向量空间（其一）
我们知道把𝑛维向量的全体组成的集合ℝⁿ叫作𝑛维向量空间.下列对于向量空间作进一步介绍. 温馨提示：本系列简单的部分到上一讲已经结束了.请各位量力而行. 设𝑉＝ℝⁿ，若𝑉≠∅，且∀𝒂，𝒃∈𝑉，𝜆∈ℝ，则
2024-02-04 大别野
向量空间（其二）
e.g.Ⅰ：设 [图片]验证𝒂₁，𝒂₂，𝒂₃是ℝ³中的一个基，并求𝒃₁，𝒃₂在这个基中的坐标. S：即要证𝒂₁，𝒂₂，𝒂₃线性无关，即要证𝑨~𝑬. 设𝒃₁＝𝑥₁₁𝒂₁＋𝑥₂₁𝒂₂＋𝑥₃₁𝒂₃，𝒃₂＝𝑥
+6
2024-02-05 大别野
向量的内积、外积（有露脸）
在高中我们已经学过向量的数量积：𝒙⋅𝒚＝|𝒙||𝒚|cos〈𝒙,𝒚〉，在直角坐标系中有 [图片]推广，设有𝑛维向量 [图片]令[𝒙,𝒚]＝𝑥₁𝑦₁＋𝑥₂𝑦₂＋…＋𝑥ₙ𝑦ₙ叫作向量𝒙和𝒚的内积.可以看出
+6
2024-02-07 大别野
向量的长度、正交性
我们在高中已经学过“可视”的向量的模（长度）.而在线代领域内，ℝⁿ中的𝑛可以去任何一个正整数.所以在我们目前的感知领域内，除非哪个物理学团队研制出了一款机器速度可以超过𝑐的，但是目前的科学水平肯定达不
+21
2024-02-09 大别野
方阵的特征值和特征向量（其一）
在上一讲的注释里，我们讲到了特征值和特征向量的定义. 根据上节的定义，式𝑨𝒙＝𝜆𝒙也可以写成(𝑨－𝜆𝑬)𝒙＝𝟢，这就是𝑛个未知数𝑛个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式|𝑨－𝜆𝑬|＝
+8
2024-02-18 大别野
方阵的特征值和特征向量（其二）
设𝜆₁，𝜆₂，…，𝜆ₘ是方阵𝑨的𝑚个特征值，𝒑₁，𝒑₂，…，𝒑ₘ依次是与之对应的特征向量，则这些向量线性无关. Pr：设有常数𝑐₁，𝑐₂，…，𝑐ₘ使得𝑐₁𝒑₁＋𝑐₂𝒑₂＋…＋𝑐ₘ𝒑ₘ＝𝟢，则𝑨(𝑐₁𝒑
2024-02-20 大别野
相似矩阵（其一）
设𝑨、𝑩都是𝑛阶方阵，若有可逆阵𝑷使得𝑷⁻¹𝑨𝑷＝𝑩，则称𝑨、𝑩相似，对𝑨进行运算𝑷⁻¹𝑨𝑷叫作对𝑨进行相似变换，可逆阵𝑷称为把𝑨变成𝑩的相似变换矩阵.笔者当时学习的时候学的是“~”是等价，而并未规定
2024-02-23 大别野
相似矩阵（其二）
下面要讨论的问题是：对于𝑛阶矩阵𝑨，寻找相似变换矩阵𝑷使得𝑷⁻¹𝑨𝑷＝𝜦为对角阵，叫作把方阵𝑨对角化. 假设∃可逆矩阵𝑷使得𝑷⁻¹𝑨𝑷＝𝜦＝diag(𝜆₁,𝜆₂,…,𝜆ₙ)，来讨论𝑷应满足的关系.将𝑷
2024-02-25 大别野
对称矩阵的对角化（其一）
我们可以得出对称阵的特征值为实数. Pr：反证法，设𝑧∈ℂ为对称阵𝑨的特征值，复向量𝒛为其对应的特征向量，即𝑨𝒛＝𝑧𝒛，𝒛≠𝟢.因为𝑨为实矩阵，所以其共轭矩阵等于其本身，故 [图片]于是 [图片]两式
+8
2024-02-28 大别野
对称矩阵的对角化（其二）
根据上节定理①②，我们有下述把对称阵𝑨ₙₓₙ对角化的步骤： (ⅰ)求𝑨的全部互不相等的特征值𝜆₁，…，𝜆ᵤ，它们的重数⁽¹⁾依次为𝑚₁，…，𝑚ᵤ（𝑚₁＋…＋𝑚ᵤ＝𝑛）； (ⅱ)对每个𝑚ᵤ重特征值⁽²⁾
2024-02-28 大别野
直和与直和分解（其一）
这一篇应该在向量空间那一块讲，但比较难以理解，为了方便大家思考把它放到了这里. 一个向量空间有很多的子空间.仿照直线与平面垂直的定义，定义向量与子空间垂直：𝒙∈ℝⁿ，𝑆⊂ℝⁿ，∀𝒚∈𝑆，[𝒙,𝒚]＝0
+11
2024-03-02 大别野
直和与直和分解（其二）
可以看出直和是一个比加和空间更严格的概念，规定了每个和空间中向量在两个空间中分解的唯一性.对于直和的判定方法，除了定义外还有：设∀𝑉₁，𝑉₂⊂𝑉，则 ①𝑉₁＋𝑉₂为直和； ②𝑉₁∩𝑉₂＝{𝟢}； ③设
2024-03-09 大别野
直和与直和分解（其三）
从上节最后的式子出发得出令∀𝑉₁，𝑉₂，𝑉ₙ⊂𝑊，则下面条件两两等价： ①𝑉₁＋𝑉₂＋…＋𝑉ₙ为直和； ②若𝒗ᵢ∈𝑉ᵢ（𝑖＝1，2，…，𝑛），则 [图片]③ [图片]④ [图片]
2024-03-12 大别野
单射、双射和满射
满射：陪域等于值域； 单射：不同变量映射到不同值； 双射：一一对应.
2024-03-17 大别野
向量投影（失踪人口回归）
若𝑨为𝑚×𝑛矩阵，𝒃∈ℝᵐ，则𝒃在𝐶(𝑨)上的投影向量𝒑＝𝑨(𝑨ᵀ𝑨)⁻¹𝑨ᵀ𝒃，矩阵𝑷＝𝑨(𝑨ᵀ𝑨)⁻¹𝑨ᵀ称为𝑨的投影矩阵，它将欧式向量空间任一向量变换成其在𝐶(𝑨)上的“影子”.由于每一个欧式向
+9
2024-03-23 大别野
幂等矩阵
上一讲注释中说到了幂等矩阵的定义，本讲将讨论其性质.设𝑨为𝑛阶幂等矩阵，𝑬ₙ为𝑛阶单位矩阵，则 ①若𝑩与𝑨相似，则𝑩为幂等矩阵； ②𝑨ᵀ、 [图片]、𝑬ₙ－𝑨ᵀ都是幂等矩阵； ③∀𝑘∈ℕ₊，𝑨ᵏ也是幂
+10
2024-03-31 大别野
二次型及其标准形（其一）
含𝑛个变量𝑥₁，𝑥₂，…，𝑥ₙ的二次齐次函数 [图片]称为二次型. 取𝑎ᵢⱼ＝𝑎ⱼᵢ，则 [图片]即可对此情形进行简化.对于二次型，令𝑥ₜ＝𝑐ₜ₁𝑦₁＋𝑐ₜ₂𝑦₂＋…＋𝑐ₜₙ𝑦ₙ，𝑡＝1，2，…，𝑛，
+5
2024-04-03 大别野
二次型及其标准形（其二）
[图片]正式开始前说明一点：以后的“图片”（即非纯式子的图片）中中文用方正书宋简体，英文正体为Founder-S10Z，英文斜体为Founder-S10X (Oblique)，希腊文用Founder
+4
2024-04-05 大别野
二次型及其标准形（其三）
[图片]e.g.：求一个正交变换𝒙＝𝑷𝒚，把二次型𝑓＝2𝑥₁𝑥₂＋2𝑥₁𝑥₃－2𝑥₁𝑥₄－2𝑥₂𝑥₃＋2𝑥₂𝑥₄＋2𝑥₃𝑥₄化为标准形. S：二次型矩阵 [图片]于是𝑨的特征值为𝜆₁＝－3，𝜆₂＝𝜆
+7
2024-04-06 大别野
二次型及其标准形（其四）
[图片]e.g.：化二次型 [图片]为标准型并求所用的变换矩阵𝑼. S：配方， [图片]
2024-04-19 大别野
正定二次型
[图片]设有二次型𝑓＝𝒙ᵀ𝑨𝒙，它的秩为𝑟，有两个可逆变换𝒙＝𝑪𝒚和𝒙＝𝑷𝒛，使得 [图片]则𝜆₁，…，𝜆ᵣ中正数的个数和𝜇₁，…，𝜇ᵣ中正数的个数相等，即惯性定理.二次型的标准形中正系数的个数称为
2024-05-01 大别野
特征值的重数（其一）
[图片]我们得出𝑨ₙₓₙ可对角化⇔当且仅当𝑨有𝑛个线性无关的特征向量. 但是必然可以举出几例矩阵不满足对角化的条件，少于𝑛个线性无关的特征向量的𝑛×𝑛矩阵为退化阵.可以得出非零的幂等矩阵都是退化的.
+5
2024-05-09 大别野
特征值的重数（其二）
[图片]𝑨ₙₓₙ，𝜆₀为𝑨的一个几何重数𝑘∈[1,𝑛]的特征值，𝜆₀的代数重数𝑚≥𝑘. 本命题的证明需要一定的线型变换知识，故暂不证明.到时候请读者自行证明. 到时候你们可以得到另一个结论：一个矩阵
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