米游社 · 大别野
魔法学徒笔记
更新于11-08
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2022-05-27 原神
线性变换的一些基本结论
先做一些设定: V 是 k-线性空间 (k 不需要是代数闭域), dim V = n (没有学过线性空间，可以理解为 n 维向量空间), 考虑线性变换 A: V→V (没有学过线性变换，可以理解为 n
2022-06-09 原神
特征多项式完全分解
线性变换的最小多项式可以分解成一次因式的乘积能保证特征多项式也可分解成一次因式的乘积. (上篇帖子讲了什么是最小多项式，感兴趣的旅行者可以先移步上篇) (上篇帖子的条件给强了，只需要要求最小多项式可分
2022-07-03 原神
top 与 soc 的对偶性
A 是一个 finite-dimensional k-algebra. 给定 right A-module M, 其 socle soc M 是由 M 所有 simple submodule
2022-07-11 原神
矩阵的转置作为线性映射的意义
氵一篇数学. 学矩阵的时候, 很快就会学转置. 可能很多同学认为, 这个概念是“强行”规定的, 没有什么意义的, 但其实它是自然而然的, 且有深刻的意义, 也就是可以刻画对偶线性映射. 众所周知
2023-04-11 原神
又是毫无作为的一天
一个问题卡一天，太难受了，数学真难啊。 把问题记录在这里: 任意从 A 出发的环同态 f: A→B 诱导连续映射 f^*: Spec B→Spec A. 这样得到的像集 f^* Spec B 称为
2023-06-06 原神
何为T0?
我发现很多朋友喜欢说T0一词。玩了这么久，我也有一些想法想和大家分享一下，我认为T0～T4是这样定义的: _(钟离-喝茶)_(钟离-喝茶)_(钟离-喝茶) 1. 拓扑空间中任意两个不同的点，必有一
2023-06-25 原神
连续函数环的拓扑结构
假设 X 是一个 compact Hausdorff space, 记 X 上的全体 continuous real functions 的集合为 C(X), 则 C(X) 以函数值的加法和乘法构成一
2023-07-27 原神
氵一点线代
0. 一些说明. F: 一个代数闭域. V: F 上的一个有限维线性空间. V*: V 的对偶空间(i.e. V 上的全体线性函数的集合, 它也是 F-线性空间, 而且与 V 有相同的维数). En
2023-09-18 原神
补全细节
不可约根系的同构可视为刚体变换. 证明: 设 φ: (E, Φ)→(E', Φ') 是根系的同构. 则任意 β, α ∈ Φ, (φβ, φα)/(φα, φα) = (β, α)/(α, α), (
2023-09-21 原神
你们这些不好好听课偷偷逛氵社的
来氵社也不给你们好果汁吃. 接受线代的拷打. _(艾尔瓦加尔_攻击)_(艾尔瓦加尔_攻击)_(艾尔瓦加尔_攻击) 设 V 是实数域上的线性空间. 二元函数 (-, -): V × V → R 称为 V
2023-10-15 原神
问个线代问题
实数方阵必有实特征值吗？有没有不存在实特征值的实数方阵的例子？
2023-10-15 原神
问个进一步的问题
是不是必须是代数闭域上，才能保证方阵必有特征值特征向量？
2023-10-30 原神
趁吃中午饭
大致想一个下午的复习顺序 i. Engel's theorem and Lie's theorem, ii. Chevalley-Jordan decomposition, iii. Killing
2023-11-27 原神
一个美妙的想法
给定有界同伦范畴 K^b(proj A) 中的两个二项 presilting 复形 U 和 U', 设它们的公共直和项是 U". 那么它们的不可分解直和项在实 Grothendieck 群 K_0(p
2023-12-01 原神
stability conditions
设 A 是 rank 为 n 的有限维代数. 用 P_1, ..., P_n 表示 n 个互不同构的不可分解投射(右) A-模, 相应的单模记作 S_1, ..., S_n. 用 K^b (proj
2024-01-28 原神
sl(n) 中的全体对角矩阵
的集合记作 H. 显然 H 是 sl(n) 的一个 toral subalgebra. 事实上, H 还是 maximal 的. 考虑 normalizer N_L(H). 任取其中元
2024-01-30 原神
线性空间不能表示成有限多个真子空间的并
如果底域 k 是有限域, 这个结论是不对的: 考虑 k^2, 显然 k^2 等于每个非零向量 (a, b) 生成的 1 维子空间的并(如果是无限维空间呢?). 所以要要求 k 是无限域. 下面证明这个
2024-02-02 原神
同时上三角化
假定域 k 是任意域, V 是 k 上的有限维线性空间. V 上全体线性变换的集合记作 End V. 设 dim V = n > 0. 线性变换 x ∈ End V 称为可上三角化的,
2024-02-07 原神
同时对角化
域 k 不做要求, k-线性空间 V 维数有限. 用 End V 表示 V 上全体线性变换的集合. x ∈ End V 称为可对角化的, 如果存在 V 上的基使得 x 在这个基下的矩阵
2024-02-08 原神
maximal toral subalgebras
Let k be an algebraically closed field, L a finite dimensional semisimple Lie algebra over k. If all
2024-02-14 原神
orthogonality properties
In [maximal toral subalgebras], we have introduced that a semisimple Lie algebra L(finite dimensiona
2024-02-16 原神
representations of sl(2)
Denote by e_(ij) the matrix whose (i, j)-term (which is at the ith row jth column) is 1, and the oth
2024-02-17 原神
integrality properties
Under the same hypotheses in [3], we continue to discuss more properties of the roots system of a se
2024-05-20 原神
520毫无感情全是数学
考虑 H* 上的函数空间 X, 其中每个函数的支集包含于有限多个 Verma 模 Z(λ) (λ∈H*) 的权集之并. 任取 f, g ∈ X. 固定 λ∈H*. 考虑集合 Ω_λ={(μ, υ)∈S
2024-05-21 原神
521毫无感情全是数学
当 λ ∈ H* 是支配整权时, λ + δ 是强支配整权(δ 是所有正根之和的一半), 从而其任意 Weyl 群 W-共轭量都不超过 λ + δ. 从而任意 μ ~ λ, 都有 μ ≺ λ (这是因
2024-09-01 原神
rigid subcategory
Let C be an tri. cat., R a rigid subcat. of C. Let D be the right Ext-perpendicular cat. of R in C.
2024-10-16 大别野
对 dominant dimensions 的理解
Let (C, E, s) be a 0-Auslander extriangulated category. Assume gl.dim C = 1. By [GNP23, Proposition
2025-01-09 原神
期末线代题
设 V, W 为两个线性空间(不一定是有限维), f: V → W 为一个线性映射. 记 f*: W* → V* 表示由 f 诱导的, 对偶空间 W*, V* 之间的线性映射(确切地说, f* 将 W
2025-03-07 大别野
Euler-Poincaré characteristic
1. For a topological space X, the Euler-Poincaré characteristic is defined as χ(X) = Σ (-1)^k rank H
2025-03-24 大别野
理解一下补码
1. 几个双射 固定正整数 n, 考虑自然数集 N 上的等价关系 x ~ y: x 和 y 相差 2ⁿ 的整数倍. N/~ 上的加法和乘法可以自然地定义. 任意元素 [x] 有负元 [2ⁿ - x],
2025-08-12 大别野
新玩具
Theorem. (右导出函子存在性定理) 设 \mathcal{A}, \mathcal{B} 是两个 Abel 范畴, \mathcal{L} 是同伦范畴 K(\mathcal{A}) 的局部化子
2025-10-11 大别野
闲得没事，来点数学
以下默认环都是带单位元的环, 环同态都保持单位元. 定义 1. 设 A, B 两个环, f: A → B 是环同态. 如果对任意从 B 出发的环同态 u, v, 由 uf = vf 可以推出 u =
03-10 大别野
ε-δ语言
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