上次回顾了定积分 (见 [1]), 这次回顾曲线积分.
I. 平面光滑曲线
只考虑平面简单光滑曲线上的曲线积分, 对于更高维的情形可以平行地推广. 一条曲线 γ 是指一个连续映射 γ: [0, 1] → R^2 的像集. 若 γ 满足对 t, t' ∈ [0, 1], t ≠ t' 且 t 和 t' 不同时是区间端点时, 都有 γ(t) ≠ γ(t') (即没有自交点, 或者只有起点和终点重合), 就称 γ 是一条简单曲线. 若 γ(0) = γ(1) , 则称 γ 为一条闭曲线. 对于 t ∈ [0, 1], 做投射分解 γ(t) = (x(t), y(t)). 则其中的 x, y 都是 [0, 1] 上的连续函数. 若还满足 x, y 都在 [0, 1] 上连续可导且导函数不同时为零 (区间端点处考虑单侧导数), 就称 γ 为一条简单光滑曲线.
设 γ 为一条简单光滑曲线, t ∈ [0, 1], Δt ≠ 0, t + Δt ∈ [0, 1]. 向量 Δγ = γ(t + Δt) - γ(t) 是点 γ(t) 到点 γ(t + Δt) 的弦向量, 其长度就是弦长. 记 Δx = x(t + Δt) - x(t), Δy = y(t + Δt) - y(t), 则 Δγ = (Δx, Δy). 由于曲线是光滑的, Δγ / Δt = (Δx / Δt, Δy / Δt) 在 Δt → 0 时的极限是 γ'(t) := (x'(t), y'(t)). γ'(t) 称为 γ 在 t 处的切向量. 对于一个向量 α = (a, b), 记 |α| = √(a^2 + b^2), 这是 α 的长度. 容易验证, |Δγ| / |Δt| 的极限是 |γ'(t)|. 从而弦长 |Δγ| 与 |γ'(t)| • |Δt| 是 Δt → 0 时的等价无穷小量.
显然 |γ'(t)| 是关于 t 的连续函数, 故可积 (见 [1, 命题 I.6]). 定义曲线 γ 的弧长 S = ∫_[0, 1] |γ'(τ)| dτ. 考虑函数 s(t) = ∫_[0, t] |γ'(τ)| dτ, 则 s'(t) = |γ'(t)| (见 [1, 命题 II.2]). 称微分 ds = s'(t) dt = |γ'(t)| dt 为 t 处的弧微分. 由于 γ 是光滑函数, s'(t) 恒大于零, 因此 s 关于 t 严格单调递增. 因此 s 存在反函数 t: [0, S] → [0, 1]. 对于 s ∈ [0, S], 记 t = t(s), 则 t'(s) = 1 / s'(t) = 1 / |γ'(t)|.
II. 第一型曲线积分
设 D 为 R^2 上的一个开集 (考虑 R^2 的通常内积诱导的拓扑), 如果 D 内任意两点能通过包含于 D 的有限多个直线段首尾相连形成的折线联系起来, 就称 D 为一个区域.
设 D 为一个区域, γ: [0, 1] → D 是(D 中的)简单光滑曲线. 考虑 [0, 1] 的一个分割 T: 0 = t_0 < t_1 < … < t_n = 1, 由此得到的 γ 上的一系列点 P_i = γ(t_i), i = 0, 1, …, n 的集合 γ(T) 称为 γ 上的一个分割. 按照上一节的方式定义弧长函数 s, 则 Δs_i = s(t_i) - s(t_{i-1}) = ∫_[t_{i-1}, t_i] |γ'(τ)| dτ 就是 γ 上 P_{i-1} 到 P_i 的弧段的长度. 称 ∥γ(T)∥ = max_i {Δs_i} 为 γ(T) 的细度. 注意到 s 在 [0, 1] 上一致连续, 因此对任意 η > 0, 存在 δ > 0, 只要 ∥T∥ < δ, 就有 ∥γ(T)∥ < η. 反过来, 由于 γ 是简单曲线, 对于任意曲线分割 T', 存在唯一 [0, 1] 的分割 T 使得 T' = γ(T). 考虑上一节结尾的 s(t) 的反函数 t(s), 它在 [0, S] 上一致连续, 从而任意 δ > 0, 存在 η > 0 使得 ∥γ(T)∥ < η 时, ∥T∥ < δ.
设函数 f 为在 D 上定义的函数, 考虑积分和
Σ_T f(ξ_i)Δs_i,
其中 ξ_i 为 P_{i-1} 到 P_i 的弧段上任取的一点. 若存在实数 J 使得对任意 ε > 0, 存在 η > 0, 只要 ∥γ(T)∥ < η, (不论 T 和各个 ξ_i 怎么取)就有
|Σ_i f(ξ_i)Δs_i - J| < ε,
就称 f 在曲线 γ 上第一型曲线积分存在, 称 J 为 f 在 γ 上的第一型曲线积分, 记作
∫_γ f ds.
类似于 [1, 命题 I.1], 可以证明若 f 在 γ 上第一型曲线积分存在, 则 f 在 γ 上有界.
注意 (f◦γ)|γ'| 是 [0, 1] 上的函数. 我们有
命题 II.1 f 在 γ 上第一型曲线积分存在当且仅当 (f◦γ)|γ'| 在 [0, 1] 上可积, 并且此时有
∫_γ f ds = ∫_[0, 1] f(γ(τ))|γ'(τ)|dτ.
证. 必要性. 设 J = ∫_γ f ds. 对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 对于 [0, 1] 的分割 T, 只要 ∥T∥ < δ, (不论 T 和各个 ξ_i 怎么取)就有 |Σ_T f(ξ_i)Δs_i - J| < ε.
由拉格朗日中值定理, Δs_i = |γ'(ζ_i)|Δt_i, 其中 ζ_i ∈ [t_{i-1}, t_i], Δt_i = t_i - t_{i-1}.
又由于 |γ'| = s' 在 [0, 1] 上的一致连续, 可要求上述 δ > 0 还满足对 t, t' ∈ [0, 1] , 只要 |t - t'| < δ, 就有 | |γ'(t)| - |γ'(t')| | < ε.
由于 f 在 γ 上有界, 设 |f(γ(t))| ≤ M, t ∈ [0, 1].
从而只要 ∥T∥ < δ, 对任取的 τ_i ∈ [t_{i-1}, t_i], 有
|Σ_T f(γ(τ_i))|γ'(τ_i)|Δt_i - J|
≤ Σ_T |f(γ(τ_i))| • | |γ'(τ_i)|-|γ'(ζ_i)| | • Δt_i
+ |Σ_T f(γ(τ_i))Δs_i - J|
< εM • Σ_T Δt_i + ε = (1 + M)ε
这表明 (f◦γ)|γ'| 在 [0, 1] 上可积, 且
∫_[0, 1] f(γ(τ))|γ'(τ)|dτ = J = ∫_γ f ds.
充分性. 由于 |γ'| 在 [0, 1] 连续且恒大于零, 故有最小值 m > 0. 又由 (f◦γ)|γ'| 可积, 得 (f◦γ)|γ'| 有界. 由此得 f◦γ 的有界性. 设 |f◦γ| ≤ M. 其余放缩细节同必要性基本一致, 以下略写. 设 I = ∫_[0, 1] f(γ(τ))|γ'(τ)|dτ. 对于 [0, 1] 的分割 T, 小弧段上的任意一点 ξ_i 存在唯一 τ_i 使得 ξ_i = γ(τ_i), 而弧长 Δs_i = |γ'(ζ_i)|Δt_i, 其中 ζ_i ∈ [t_{i-1}, t_i]. 设 δ > 0 使得当 ∥T∥ < δ 时 |Σ_T f(γ(τ_i))|γ'(τ_i)|Δt_i - I| < ε. 由 s(t) 的反函数 t(s) 的一致连续性, 存在 η > 0 使得 ∥γ(T)∥ < η 时 ∥T∥ < δ. 此时
|Σ_γ(T) f(ξ_i)Δs_i - I|
= |Σ_T f(γ(τ_i))|γ'(ζ_i)|Δt_i - I|
≤Σ_T |f(γ(τ_i))| • | |γ'(ζ_i)|-|γ'(τ_i)| | • Δt_i
+ |Σ_T f(γ(τ_i))|γ'(τ_i)|Δt_i - I|
< εM • Σ_T Δt_i + ε = (1 + M)ε.
这又表明 f 在 γ 上第一型曲线积分存在, 且
∫_γ f ds = I = ∫_[0, 1] f(γ(τ))|γ'(τ)|dτ.
以上积分的方向是从 γ(0) 到 γ(1) 的. 但事实上该积分与方向无关. 做变量替换 t = 1 - u 则 ρ(u) = γ(1 - u) 随 u 从 0 到 1, 曲线上对应的点从 γ(1) 移动到 γ(0). 显然 ρ 和 γ 是同一条曲线, 只不过它们的参数变化方向相反. 容易知道, ρ'(u) = -γ'(1 - u), |ρ'(u)| = |γ'(1 - u)|. 由命题 II.1 及 [1, 命题 III.2] 的推广 (见 [1] 评论区), 有 ∫_γ f ds = ∫_[0, 1] f(γ(t))|γ'(t)|dt = ∫_[1, 0] f(ρ(u))|ρ'(u)| (-1)du = ∫_[0, 1] f(ρ(u))|ρ'(u)| du = ∫_ρ f ds.
III. 第二型曲线积分
保持前文设定. 这里强调一下 f 的两个变量, 记 x 为第一个变量, y 为第二个变量. 对于 [0, 1] 的分割 T, P_i = γ(t_i) = (x(t_i), y(t_i)). 记 Δx_i = x(t_i) - x(t_{i-1}). 若存在实数 J 使得对任意 ε, 存在 η > 0, 只要 ∥γ(T)∥ < η, (不论 T 和各个 ξ_i 怎么取)就有
|Σ_i f(ξ_i)Δx_i - J| < ε,
就称 f 在曲线 γ 上关于 x 第二型曲线积分存在, 且称 J 为 f 在 γ 上的关于 x 的第二型曲线积分, 记作
∫_γ f dx.
同理可以定义函数 f 在曲线 γ 上关于 y 的第二型曲线积分.
第一型曲线积分与积分方向无关, 但第二型曲线积分与积分方向有关. 如果改变参数让积分方向反过来, 则得到的结果是原结果的相反数. 这一点从定义能看出来, 不展开论述.
引理 III.1 (柯西准则) 设 f 定义在 γ 上, 则 f 关于 x 的第二型曲线积分存在当且仅当对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得对 γ 的两个曲线分割 T_1, T_2 只要它们的细度都 < δ, 则它们各自的关于 x 的任意积分和之差的绝对值 < ε.
证. 必要性略, 只证充分性. 任意 ε > 0, 存在 δ > 0 使得对 γ 的两个曲线分割 T_1, T_2 只要它们的细度都 < δ, 则它们各自的关于 x 的任意积分和之差的绝对值 < ε/2. 取定曲线分割 T_0: ∥T_0∥ < δ 以及一个积分和 Σ_{T_0} f(σ_k) Δx_k, 则任意细度 < δ 的曲线分割 T 的任意积分和的绝对值 < ε/2 + |Σ_{T_0} f(σ_k) Δx_k|. 即细度 < δ 的曲线分割 T 下的任意关于 x 积分和的集合 E 为有界集. 若 E 为无限集则有聚点, 若 E 为有限集, 这说明能取到一列不同分割或取点的关于 x 的积分和为定值. 总之我们能得到一列 E 中两两不同的积分和(要么分割不同, 要么取点不同) S_n 收敛于某实数 A. 对任意曲线分割 T, 只要它的细度 < δ, 则关于 T 的积分和就满足 |Σ_T f(τ_i) Δx_i - S_n| < ε/2 对任意 n 成立. 令 n → ∞ 有 |Σ_T f(τ_i) Δx_i - A| ≤ ε/2 < ε. 这表明 f 关于 x 的第二型曲线积分存在, 且等于 A.
命题 III.2 设 f 为定义在 γ 上, 若关于 x 的第二型曲线积分存在, 则 f 在 γ 的任意子弧段上关于 x 的第二型曲线积分也存在.
证. 设区间 I ⊆ [0, 1], 我们证明 f 在 γ(I) 上关于 x 的第二型曲线积分存在. 由引理 III.1 以及条件, 对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 对 γ 的两个分割, 只要它们的细度小于 δ, 则它们的任意积分和相差小于 ε. 设 γ(I) 上的两个分割 T_1, T_2 细度都小于 δ. 对曲线上 γ(I) 以外的部分取分点, 要求它们分别与 T_1, T_2 合成的 γ 的分割 T_1', T_2' 的细度仍都小于 δ. 设 γ(I) 以外的部分上的积分和为 C_0, 保持积分和中取点不变. 取 f 在 γ(I) 部分关于 T_1, T_2 的任意积分和 S_1, S_2, 则可以得到 f 在 γ 上关于 T_1', T_2' 的两个积分和 C_0 + S_1, C_0 + S_2. 于是 |S_1 - S_2| = |(C_0 + S_1) - (C_0 + S_2)| < ε. 由引理 III.1, 结论成立.
值得注意的是, f 仅关于 x 或者仅关于 y 第二型可积时, 无法保证有界性. 如这样定义的f: f(x, 0) = 0, f(x, y ≠ 0) = 1/|y|. 考虑 t ∈ [0, 1], x = 0, y = t - 1/2 确定的曲线 γ. 由于在 γ 上变量 x 恒为常数, 任意积分和 Σ_T f(ξ_i)Δx_i = 0. 于是由定义知 ∫_γ f dx = 0. 但显然 f 在 γ 上无界.
但如果 ∫_γ f dx 和 ∫_γ f dy 同时存在, 则 f 在 γ 上是有界的.
命题 III.3 设 f 在 γ 上关于 x 和 y 的第二型曲线积分都存在, 则 f 在 γ 上有界.
证. 设 f 在 γ 上无上界. 对任意实数 G, 取 γ 的足够细的曲线分割 T. 则 f 在某弧段, 譬如 P_{i-1} 到 P_i 的弧段上无上界. 注意 γ 是简单曲线, 没有内部自交点, 从而 Δx_i 与 Δy_i 不同时为零. 不妨设Δx_i ≠ 0, 则该弧段上的存在点 ξ_i 使得 |f(ξ_i)Δx_i| > G + Σ_{j≠i} |f(P_j)Δx_j|. 在其他弧段上取 ξ_j = P_j (j ≠ i). 从而 |Σ_i f(ξ_i)Δx_i| ≥ |f(ξ_i)Δx_i| - Σ_{j≠i} |f(P_j)Δx_j| > G, 这表明 ∫_γ f dx 不存在, 矛盾.
不过关于单一变量第二型曲线可积的函数有如下的部分有界性.
命题 III.4 设 f 在 γ 上关于 x 第二型可积, 记 I 为 [0, 1] 中 x'(t) 不为零的 t 的集合, 则 f◦γ 在 I 上有界.
证. 设 f◦γ 在 I 上无界. 设 G > 0, 取 [0, 1] 的足够细的分割 T, 记 T 分出的各个小区间为 Δ_i = [t_{i-1}, t_i], 记 Δx_i = x(t_i) - x(t_{i-1}), i = 1, …, n. 则 f◦γ 在某个非空的 I∩Δ_i 上无界.
我们可以假设 Δx_i ≠ 0. 否则若 Δx_i = 0, 注意到 I∩Δ_i 中的点上 x'(t) 不为零, 因此 x(t) 在 Δ_i 上不是常数. 适当添加分点 t' ∈ (t_{i-1}, t_i) 使得 x(t') 不同于 x(t_{i-1}) 和 x(t_i). 则现在对于 T 的这一加细, f◦γ 在 I∩Δ_i 或 I∩Δ_{i+1} 上无界, 而 Δx_i 和 Δx_{i+1} 均不为零.
从而存在 τ_i ∈ I∩Δ_i 使得 |f(γ(τ_i))Δx_i| > G + Σ_{j≠i} |f(γ(t_j))Δx_j|. 对于 j ≠ i, 取 τ_j = t_j. 则 |Σ_i f(γ(τ_i))Δx_i| ≥ |f(γ(τ_i))Δx_i| - Σ_{j≠i} |f(γ(τ_j))Δx_j| > G, 这表明 ∫_γ f dx 不存在, 矛盾.
定理 III.5 设 f 在 γ 上有定义, 若关于 x 的第二型曲线积分存在, 则 (f◦γ)x' 在 [0, 1] 上可积, 并且
∫_γ f dx = ∫_[0, 1] f(γ(τ))x'(τ)dτ.
证. 记 J = {t ∈ [0, 1] | x'(t) ≠ 0}. 记 g = f◦γ, h = (f◦γ)x'. 由命题 III.4, g 在 J 上有界. 设 |g(t)| ≤ M, t ∈ J. 又由 x' 的连续性, 知 x' 在 [0, 1] 上有界. 从而 h 在 J 上有界, 且在 [0, 1]\J 上等于零.
设 T 为 [0, 1] 的一个分割. 由于第二型曲线积分 ∫_γ f dx 存在, 对任意 ε > 0, 存在 δ' > 0, 只要 ∥γ(T)∥ < δ', 任取弧段 γ_i = γ([t_{i-1}, t_i]) 上 ξ_i 都有 |Σ_γ(T) f(ξ_i)Δx_i - ∫_γ f dx| < ε. 存在 δ > 0 使得 ∥T∥ < δ 时, ∥γ(T)∥ < δ'. 任取 T: ∥T∥ < δ, 任取 τ_i ∈ [t_{i-1}, t_i] . 考虑 h 的积分和 R_T = Σ_T h(τ_i)Δt_i. 由拉格朗日中值定理 Δx_i = x(t_i) - x(t_{i-1}) = x'(η_i)Δt_i, η_i ∈ (t_{i-1}, t_i). 对指标做分类: I_1 = {i : τ_i ∈ J}, I_2 = {i : τ_i ∉ J}. 考虑 S_T = Σ_{i ∈ I_1} g(τ_i) Δx_i + Σ_{i ∈ I_2} g(η_i) Δx_i. 显然 S_T 是 f 在分割 T 下的第二型曲线积分 ∫_γ f dx 的一个积分和, 从而 |S_T - ∫_γ f dx| < ε.
由 x' 的一致连续性, 可以要求 |t' - t"| < δ 时, |x'(t') - x'(t")| < ε (否则取更小的 δ). 由于 ∥T∥ < δ, |x'(τ_i) - x'(η_i)| < ε.
|R_T - S_T| ≤ |Σ_{i ∈ I_1} h(τ_i)Δt_i - Σ_{i ∈ I_1} g(τ_i) Δx_i| + |Σ_{i ∈ I_2} h(τ_i)Δt_i - Σ_{i ∈ I_2} g(η_i) Δx_i| = |Σ_{i ∈ I_1} g(τ_i)(x'(τ_i) - x'(η_i))Δt_i| + |Σ_{i ∈ I_2} g(η_i) Δx_i| ≤ Mε Σ_{i ∈ I_1}Δt_i + |Σ_{i ∈ I_2} h(η_i) Δt_i|.
当 i ∈ I_2 时, x'(τ_i) = 0, h(τ_i) = 0. |h(η_i)| = |g(η_i)| |x'(η_i)| ≤ |g(η_i)| ε. 若 η_i ∈ J, |g(η_i)| ≤ M; 若 η_i ∉ J, |h(η_i)| = 0. 从而总有 |h(η_i)| ≤ Mε. 由此, |R_T - S_T| ≤ Mε Σ_{i ∈ I_1}Δt_i + Mε Σ_{i ∈ I_2}Δt_i = Mε. |R_T - ∫_γ f dx| ≤ |R_T - S_T| + |S_T - ∫_γ f dx| < Mε + ε. 由此可见 h 在 [0, 1] 上黎曼可积, 且 ∫_[0, 1] f(γ(τ))x'(τ)dτ = ∫_γ f dx.
命题 III.6 设 f 在 γ 上有界. 若 (f◦γ)x' 在 [0, 1] 上黎曼可积, 则 f 关于 x 的第二型曲线积分存在, 并且此时
∫_γ f dx = ∫_[0, 1] f(γ(τ))x'(τ)dτ.
证. 设 ∫_[0, 1] f(γ(τ))x'(τ)dτ = A. 对于 γ 上的分割 T', 存在 [0, 1] 的分割 T 使得 T' = γ(T).
|Σ_i f(γ(τ_i))Δx_i - A| = |Σ_i f(γ(τ_i))x'(ζ_i)Δt_i - A| ≤ Σ_i |f(γ(τ_i))| |x'(ζ_i) - x'(τ_i)|Δt_i + |Σ_i f(γ(τ_i))x'(τ_i)Δt_i - A|.
容易说明上式右端随曲线分割细度减小可以任意小.
上述命题中 f 在 γ 上的有界性是重要的, 如果缺少这个条件, 结论可能不成立.
例子 III.7 考虑简单光滑曲线 γ(t) = (t^3 /3, t), t ∈ [0, 1] 上的函数 f(γ(t)) = 1/t, t > 0, f(γ(0)) = 0. 则 f(γ(t))x'(t) = t, t ∈ [0, 1]. 从而 (f◦γ)x' 在 [0, 1] 上可积, 且积分为 1/2.
但 f 关于 x 的第二型曲线积分不存在. 事实上, 对任意 G > 0, 任意 δ > 0, 取 [0, 1] 的足够细的分割 T, 使得 ∥γ(T)∥ < δ. 由于 f(γ(t)) 在 t ∈ Δ_1 时无上界, 注意到 Δx_1 > 0, 取 τ_1 ∈ Δ_1 使得 f(γ(τ_1))Δx_1 > G + |Σ_{i≠1} f(γ(t_i))Δx_i|. 则取 τ_i = t_i, i ≠ 1, 就有 |Σ_i f(γ(τ_i))Δx_i| > G. 这表明 f 关于 x 的第二型曲线积分不存在.
